問題です。次のこたえは答えはいくらでしょうか。

• 1+2+3+4+5+6+7+…=?

左辺の … は無限項まで足し合わせることを意味します。無限項の和を「無限級数」（級数ともいいます）といいます。前回紹介した次の公式

• 1+2+3+… +n = n(n+1)/2

を思い出せば、n→∞を考えて答えは無限大∞となります。これを「級数は発散する」といいます。もちろん公式を考えるまでもなくその答えは∞であることはあきらかでしょう。
次に、等比数列の無限級数を考えてみましょう。
問題です。公比が1/2である次の級数の和を求めよ。

• 

無限に数を加えていくのですからその値は無限（発散する）と考えられます。しかし、その答えが有限になるときがあります。等比数列の無限項の和、これを「無限等比級数」といいますが、この結果を計算する公式があります。

• 初項a、公比rの無限等比級数は、-1<r<1のとき、に収束する。

すると、この公式において a= 1/2 、公比r=1/2とすると、

• 

を得ます。これは、次の絵のように面積で考えてみると級数は１辺が1の正方形の面積1（=1×1）に収束することが納得できます。

• 

では、次に自然数の逆数の和

• 

はどうなるでしょうか。答えは無限大、つまりこの級数は発散することが証明されます。証明したのはヤコブ・ベルヌーイ（1654--1705、スイス）でした。うまい具合に足していくことで答えがわかったのです。次に、彼は自然数の平方の逆数の和を無限に足すとどうなるかを考えました。これがなかなかの難問であることが多くの数学者により明らかになります。うまい計算法が見つからないのです。

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数学－その遙かなる風景－  

• パート2「驚異の数学」（第3回）人は足すことをやめない　和の公式　有限編
• パート1「鑑賞する数学」　（第2回）　図形・グラフ編
• パート1「鑑賞する数学」　（第1回）　方程式・恒等式編